Progresiones aritméticas y geométricas: del ahorro de promoción al dengue en Piura

SESIÓN DE APRENDIZAJE

Progresiones aritméticas y geométricas: del ahorro de promoción al dengue en Piura

I. DATOS INFORMATIVOS

II. PROPÓSITOS DE APRENDIZAJE

III. PROPÓSITO DE APRENDIZAJE

Que las y los estudiantes modelen dos situaciones reales con progresiones aritméticas y geométricas, determinen el término general de cada una y argumenten, comparando ambas gráficas, por qué un crecimiento multiplicativo obliga a actuar antes que uno aditivo.

IV. SITUACIÓN SIGNIFICATIVA

El comité de promoción de cuarto grado acordó ahorrar S/. 40 la primera semana y aumentar S/. 15 cada semana siguiente para el viaje de fin de año. Al mismo tiempo, en el noticiero de la mañana la dirección regional de salud de Piura informó que una hembra de zancudo *Aedes aegypti* puede dejar descendencia capaz de duplicar la población cada semana si no se eliminan los criaderos. Dos situaciones que crecen, dos ritmos completamente distintos. ¿Cuál de las dos alcanza primero el valor de mil y en qué semana? Responder eso con precisión es lo que hoy nos toca.

V. SECUENCIA DIDÁCTICA

Inicio (15 min)

Escribimos en la pizarra las dos series iniciales sin nombrarlas: 40, 55, 70, 85, ... y 2, 4, 8, 16, ...

Recojo de saberes previos: ¿Cómo continúa cada serie? ¿Qué hiciste para pasar de un término al siguiente?

Conflicto cognitivo: la primera serie empieza veinte veces más arriba que la segunda. ¿Puede la segunda alcanzarla? ¿En qué momento?

La docente presenta el propósito y los criterios de evaluación.

Desarrollo (60 min)

1. Exploración con material concreto (10 min)

Cada equipo de cuatro recibe un tablero de casilleros y un puñado de frijoles.

Modelan el ahorro: colocan 40 frijoles en la primera casilla y agregan 15 en cada casilla siguiente hasta la sexta.

Modelan la población de zancudos: colocan 2 frijoles y duplican en cada casilla hasta la sexta.

Observan qué ocurre con los montones. En la sexta casilla el ahorro llega a 115 frijoles y la población a 64, aún por debajo. Registran esa observación en su cuaderno.

2. Representación tabular (12 min)

Completan la tabla hasta la semana 12:

En la semana 7 la segunda columna es superada. Los estudiantes marcan ese cruce y anotan la semana exacta.

3. Formalización simbólica (18 min)

La docente sistematiza las dos definiciones y sus fórmulas:

Progresión aritmética. Cada término se obtiene sumando una diferencia constante d al anterior.

a(n) = a(1) + (n - 1) · d

Ahorro: a(n) = 40 + (n - 1) · 15

Suma de los n primeros términos:

S(n) = n · [a(1) + a(n)] / 2

Progresión geométrica. Cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante r.

a(n) = a(1) · r^(n - 1)

Zancudos: a(n) = 2 · 2^(n - 1)

Suma de los n primeros términos, con r distinto de 1:

S(n) = a(1) · [r^n - 1] / (r - 1)

Aplicación inmediata en el cuaderno:

¿Cuánto ahorra el comité en la semana 20? Reemplazando: a(20) = 40 + 19 · 15 = 325 soles.

¿Cuánto suma el ahorro en las 20 semanas? S(20) = 20 · (40 + 325) / 2 = 3 650 soles.

¿Cuál es la población relativa de zancudos en la semana 15? a(15) = 2 · 2^14 = 32 768.

4. Representación gráfica comparativa (10 min)

En una misma hoja milimetrada grafican ambas progresiones con la semana en el eje horizontal. La recta del ahorro y la curva de la población quedan a la vista. Los estudiantes describen en dos líneas qué diferencia observan en la forma de cada representación.

5. Argumentación (10 min)

Cada estudiante escribe un párrafo que responda: ¿por qué la campaña de eliminación de criaderos tiene que hacerse en las primeras semanas y no cuando ya se ven muchos casos? Deben citar al menos dos valores calculados por ellos mismos.

Cierre (15 min)

Dos estudiantes leen su párrafo de argumentación y el aula verifica si los valores citados son correctos.

La docente cierra contrastando: una progresión aritmética crece a ritmo constante y una geométrica multiplica su tamaño, por eso las curvas se separan tanto en pocos periodos.

Metacognición: ¿Qué representación te permitió ver más rápido la diferencia entre los dos crecimientos? ¿Qué error cometiste al aplicar alguna de las fórmulas y cómo lo detectaste? ¿Dónde más has visto un crecimiento que se duplica?

Tarea: buscar en el recibo de un préstamo familiar o en una promoción de tienda un caso de crecimiento y clasificarlo.

VI. MATERIALES

Tableros de casilleros y frijoles secos, un juego por equipo.

Hoja milimetrada, una por estudiante.

Calculadora científica.

Cuaderno y regla.

VII. ANEXOS

Anexo 1. Tablero de exploración concreta. Plantilla imprimible con doce casilleros numerados por semana, en dos filas paralelas, para modelar con semillas el ahorro y la población de zancudos antes de pasar a la tabla numérica.

Anexo 2. Hoja de tablas comparativas. Cuadro de tres columnas hasta la semana veinte con las dos progresiones, con espacio para marcar la semana en que la geométrica supera a la aritmética.

Anexo 3. Formulario de progresiones. Tarjeta de una cara con las fórmulas del término general y de la suma de los n primeros términos para progresiones aritméticas y geométricas, con un ejemplo resuelto de cada una.

Anexo 4. Ficha de argumentación. Consigna de escritura con tres preguntas guía y espacio pautado de ocho líneas para redactar el párrafo que sustenta la respuesta sanitaria temprana citando valores calculados.

Anexo 5. Rúbrica de modelación matemática. Cuatro criterios con cuatro niveles de logro, con descriptores que distinguen el uso correcto de la fórmula de la interpretación del resultado en el contexto del problema.

ANEXO 1. INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN: RÚBRICA

Construido con los criterios de evaluación de esta sesión. Edita los descriptores según tu aula.

Evidencia que se evalúa: Hoja de trabajo con las dos progresiones modeladas, término general, gráfica comparativa y párrafo de argumentación.

ANEXO 2. REGISTRO DE EVALUACIÓN DEL AULA

Criterios: C1 = Distingue una progresión aritmética de una geométrica a partir de la tabla de valores y justifica la clasificación. | C2 = Determina el término general de cada progresión y lo usa para hallar un término lejano. | C3 = Representa ambas progresiones en un mismo plano y describe la diferencia en el ritmo de crecimiento. | C4 = Argumenta, con los valores obtenidos, por qué un crecimiento geométrico exige una respuesta sanitaria temprana.

Escala: C = En inicio, B = En proceso, A = Logro esperado, AD = Logro destacado.

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