Encontramos el vértice de una parábola completando cuadrados en el biohuerto

SESIÓN DE APRENDIZAJE

Encontramos el vértice de una parábola completando cuadrados en el biohuerto

I. DATOS INFORMATIVOS

II. PROPÓSITOS DE APRENDIZAJE

III. PROPÓSITO DE APRENDIZAJE

Competencia: Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio.

Capacidades:

Traduce datos y condiciones a expresiones algebraicas y gráficas.

Usa estrategias y procedimientos para encontrar equivalencias y reglas generales.

Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia.

Desempeños:

Establece relaciones entre datos y acciones de comparar, igualar y calcular valores desconocidos, y las transforma en expresiones algebraicas al completar cuadrados para hallar el vértice de una parábola.

Expresa con lenguaje algebraico la equivalencia de una expresión cuadrática escrita en forma completada y justifica los pasos seguidos.

Criterios:

Escribe el proceso para reescribir x² - 4x + 7 como (x - 2)² + 3, mostrando los pasos de completar cuadrados.

Señala las coordenadas del vértice (2, 3) a partir de la forma completada.

Explica por escrito, con sus propias palabras, por qué la forma (x - h)² + k permite identificar el vértice.

Aplica el procedimiento a la expresión x² + 6x + 5 y escribe su vértice.

Evidencia: Ficha resuelta donde el estudiante completa cuadrados para hallar el vértice de al menos dos parábolas y escribe la interpretación en el contexto del biohuerto.

Instrumento: Lista de cotejo.

IV. SITUACIÓN SIGNIFICATIVA

En el biohuerto de la Institución Educativa San Martín de Porres, ubicada en el distrito de San Juan de Lurigancho, Lima, los estudiantes de tercer grado han medido durante cuatro semanas cómo cambia la producción de lechugas según la cantidad de agua que reciben. Con los datos recogidos, el profesor les ha presentado la expresión x² - 4x + 7, donde x representa los litros de agua por metro cuadrado y el resultado es la cantidad de lechugas cosechadas por metro cuadrado. Los estudiantes quieren saber cuánta agua deben aplicar para obtener la máxima producción y cuántas lechugas obtendrán en ese punto. Para responder, necesitan reescribir la expresión en una forma que les permita identificar fácilmente el vértice de la parábola.

V. SECUENCIA DIDÁCTICA

Inicio (15 min)

Saludo y motivación: Muestra una tabla con datos de producción de lechugas según litros de agua:

Pregunta: ¿qué patrón observan? ¿La producción aumenta siempre? ¿Habrá un punto máximo?

Recoge saberes previos: ¿Qué es una parábola? ¿Cómo se ve su gráfica? ¿Qué es el vértice? ¿Han oído hablar de completar cuadrados?

Presenta el propósito: Hoy aprenderemos a reescribir expresiones cuadráticas completando cuadrados para encontrar el vértice de una parábola y resolver problemas como el del biohuerto.

Acuerda normas de convivencia: escuchar con atención, respetar las ideas de los demás, trabajar en equipo.

Desarrollo (60 min)

Comprensión del problema (10 min)

Lee con los estudiantes la situación significativa. Pregunta: ¿Qué nos piden hallar? ¿Qué representa x? ¿Qué representa el resultado de la expresión? ¿Qué necesitamos hacer para encontrar el vértice?

Asegura que comprendan que deben reescribir x² - 4x + 7 en una forma que muestre el vértice.

Búsqueda de estrategias (10 min)

En equipos, pide que propongan formas de reescribir la expresión. Pueden usar material concreto (tarjetas algebraicas) para representar x² - 4x + 7 y tratar de formar un cuadrado perfecto.

Guía con preguntas: ¿Qué número falta para completar un cuadrado perfecto con x² - 4x? ¿Cómo podemos mantener el equilibrio de la expresión?

Representación (15 min)

Entrega a cada equipo tarjetas cuadradas (x²), rectangulares (x) y pequeñas (unidades). Pide que armen la expresión x² - 4x + 7. Luego, que intenten formar un cuadrado con las tarjetas x² y x. Notarán que necesitan 4 unidades para completar el cuadrado de lado (x - 2).

Pide que dibujen el cuadrado formado y anoten la expresión equivalente: (x - 2)² + 3.

Luego, que grafiquen la parábola en un plano cartesiano, ubicando el vértice.

Formalización (10 min)

Explica el método de completar cuadrados: Para x² + bx + c, se toma la mitad de b, se eleva al cuadrado y se suma y resta para mantener la equivalencia. En x² - 4x + 7, la mitad de -4 es -2, su cuadrado es 4. Entonces: x² - 4x + 4 - 4 + 7 = (x - 2)² + 3.

Muestra que la forma (x - h)² + k indica que el vértice es (h, k). En este caso, (2, 3).

Relaciona con la gráfica: la parábola abre hacia arriba, el vértice es el punto mínimo.

Reflexión (5 min)

Pregunta: ¿Por qué es útil completar cuadrados? ¿Qué ventaja tiene la forma (x - h)² + k frente a la forma desarrollada? ¿Cómo nos ayuda a resolver el problema del biohuerto?

Transferencia (10 min)

Propón otra expresión: x² + 6x + 5. Pide que la reescriban completando cuadrados y hallen el vértice. Luego, que inventen una situación similar en otro contexto (por ejemplo, ventas de una bodega) y la resuelvan.

Cierre (15 min)

Sistematiza: Pide a algunos estudiantes que expliquen el proceso de completar cuadrados y cómo hallar el vértice. Refuerza la idea clave: x² - 4x + 7 equivale a (x - 2)² + 3, y el vértice es (2, 3).

Metacognición: ¿Qué pasos seguí para completar cuadrados? ¿Cómo me di cuenta de que el vértice era (2, 3)? ¿En qué otras situaciones de mi vida puedo usar lo que aprendí? ¿Qué parte del proceso me resultó más difícil y cómo la resolví?

Cierra con la respuesta al problema del biohuerto: la máxima producción se obtiene con 2 litros de agua por metro cuadrado y se cosechan 3 lechugas por metro cuadrado.

VI. MATERIALES

Tarjetas algebraicas (cuadrados grandes, rectángulos y cuadrados pequeños) para cada equipo.

Papelotes y plumones.

Reglas y lápices.

Ficha de trabajo impresa con la situación y los ejercicios.

Pizarra y plumones de colores.

VII. ANEXOS

El docente prepara tarjetas algebraicas recortadas de cartulina: cuadrados de 5 cm de lado para representar x², rectángulos de 5 cm por 2 cm para representar x, y cuadrados de 2 cm de lado para las unidades. También elabora una ficha de trabajo con la situación del biohuerto, la expresión x² - 4x + 7, y dos ejercicios adicionales para la transferencia. Prepara un papelote con el paso a paso de completar cuadrados y otro con la gráfica de la parábola. Además, lleva una tabla con datos de producción de lechugas para la motivación inicial.

ANEXO 1. INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN: LISTA DE COTEJO

Construido con los criterios de evaluación de esta sesión. Edita los descriptores según tu aula.

Evidencia que se evalúa: Ficha resuelta donde el estudiante completa cuadrados para hallar el vértice de al menos dos parábolas y escribe la interpretación en el contexto del biohuerto.

ANEXO 2. REGISTRO DE EVALUACIÓN DEL AULA

Criterios: C1 = Escribe el proceso para reescribir x² - 4x + 7 como (x - 2)² + 3, mostrando los pasos de completar cuadrados. | C2 = Señala las coordenadas del vértice (2, 3) a partir de la forma completada. | C3 = Explica por escrito, con sus propias palabras, por qué la forma (x - h)² + k permite identificar el vértice. | C4 = Aplica el procedimiento a la expresión x² + 6x + 5 y escribe su vértice.

Escala: C = En inicio, B = En proceso, A = Logro esperado, AD = Logro destacado.

Descargado de paraclases.com. Propuesta independiente y editable. Revisa su pertinencia curricular y adáptala a tu grupo antes de usarla.